UN LÍMITE Y UNA DEMOSTRACIÓN

Defiende tu derecho a pensar, porque incluso pensar de manera errónea es mejor que no pensar


                                                                                                                        Hipatia



En esta nueva entrada, resuelvo un límite en el que necesitamos refrescar algunos conceptos como el cambio de base de un logaritmo, además de la aplicación de las equivalencias (tan importantes en resolución de límites, recordad que éstas solamente pueden ser aplicadas en productos y cocientes). También planteo un problema en el que se nos pide, basándose en una desigualdad, demostrar que una función es constante. Aquí os dejo los dos enunciados y sus soluciones.

 

 

 

 

 

 

 

 

EL TÉRMINO INDEPENDIENTE DE UN POLINOMIO ES MÚLTIPLO DE UNA RAIZ DE ÉSTE

                           El que no se equivoca nunca es porque nunca hace nada 

                                                                                                   Mahoma

Esta nueva entrada trata de demostrar como dado un polinomio con las condiciones expresadas en el enunciado y siendo r una solución entera de éste, r es divisor del término independiente o dicho de otra forma el término independiente es múltiplo de r. Aquí os dejo el enunciado y la demostración.

PROBLEMAS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL I

                  Piensa como piensan los sabios, mas habla como habla la gente sencilla 

                                                                                                                   Aristóteles

En esta nueva entrada, resuelvo más problemas de cálculo de una variable propuestos en una colección. son problemas de límites, continuidad y derivabilidad junto con todos los teoremas asociados. Todo ello explicado en teoría en entradas anteriores. Aquí  os dejo los enunciados y su solución.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LA DERIVABILIDAD

 

En lugar de ser un hombre de éxito, busca ser un hombre valioso: lo demás llegará naturalmente

 

 

                                                                                                                        Albert Einstein

 

 

En esta entrada resuelvo tres problemas plantados de aplicación de la continuidad y derivabilidad. Aquí os dejo  los enunciados y su solución.

EL GIRO DE UNA VARILLA SOBRE SU PUNTO DE CONTACTO CON EL SUELO

                           Vale más saber una cosa de todo, que saberlo todo de una cosa

 

 

 

                                                                                                             Blaise Pascal

 

 

 

 

En esta nueva entrada, resuelvo un problema propuesto en una prueba. Se trata del movimiento de una varilla que en su posición inicial se encuentra vertical y, debido a una vibración, rota sobre el punto de contacto con el suelo sin deslizar. Nos preguntan sobre la velocidad del punto de la varilla más alejado del suelo, aceleración angular de la varilla en ese movimiento y, por último, si toda la energía adquirida en ese movimiento se transforma en calor, hallar el aumento de temperatura que adquiere la varilla. Aquí os dejo el enunciado y la solución del problema.

PROBLEMA DE SISTEMAS DE ECUACIONES. APLICACIÓN DEL TEOREMA DE ROUCHÉ

Escucha, serás sabio. El comienzo de la sabiduría es el silencio

                                                                                                 Pitágoras
 

 

 

 

 

 

 

 

Esta nueva entrada consiste en la aplicación del teorema de Rouché y de la regla de Cramer a un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas con un parámetro. También se puede resolver aplicando Gauss (haciendo ceros por debajo de la diagonal principal), pero en mi opinión y siempre que no nos digan nada, el camino para resolver este tipo de problemas es más cómodo por el teorema de Rouché y Cramer que por Gauss. Aquí os dejo el enunciado y la solución del problema.

 

 

 

 

 

 

 

TEOREMA DE ROUCHÉ Y REGLA DE CRAMER

Si en matemáticas creéis que habéis encontrado algo nuevo, mirad la bibliografía, si no lo encontráis es que está mal.

                                                                                                         profesor de bachillerato

En esta nueva entrada voy a explicar, de forma breve, el teorema de Rouché y la regla de Cramer para, en una siguiente entrada, resolver un sistema aplicando este teorema. El teorema de Rouché nos informa de la posibilidad de solución de un sistema de ecuaciones mediante rangos y la regla de Cramer lo resuelve. Dada A la matriz de los coeficientes y A* la matriz ampliada, el teorema de Rouché y la regla de Cramer son los enunciados en la siguiente imagen.

 

PROBLEMA DE APLICACIÓN DEL TEOREMA DE GAUSS I

Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor, la electricidad y la energía atómica: La voluntad

                                                                                                                 Albert Einstein

 

 

 

 

Un problema que me han planteado de aplicación del teorema de Gauss. Recordando  el resultado de este teorema tan importante que dice así: " El flujo neto que atraviesa una superficie cerrada (superficie gaussiana), en un campo eléctrico es igual a la suma algebraica de las cargas eléctricas encerradas en su interior dividida entre la constante dieléctrica absoluta del medio en el que se encuentran las cargas". El problema trata de hallar el campo eléctrico creado por un conductor rectilíneo indefinido. Aquí os dejo el enunciado y la solución del problema por dos caminos diferentes.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TRAYECTORIA DE UN ELECTRÓN EN EL INTERIOR DE UN CONDENSADOR I

                   Lo que oyes lo olvidas, lo que ves lo recuerdas, lo que haces lo aprendes

 

 

                                                                                                        Proverbio chino

 

 

 

En esta nueva entrada resolveré un problema en el que interviene el movimiento de un electrón entre las armaduras de un condensador. En él tendremos que tener en cuenta también el movimiento parabólico de una partícula. Aquí os dejo el enunciado y la solución del problema.

 

 

 

 

´BREVES NOTAS SOBRE MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMÓNICO SIMPLE

Aprende a resolver todos los problemas que ya hayan sido resueltos

    

 

                                                                                         Richard Feynman

 

 

 

En esta nueva entrada voy a hablaros del movimiento vibratorio armónico simple más conocido como m.v.a.s. a raíz de una pregunta teórica relacionada con el tema en una prueba. Este movimiento es la base del estudio del movimiento de las ondas y relacionado con el estudio de las vibraciones. Aquí os dejo un breve estudio teórico que puede servir para resolver problemas básicos relacionados con el tema.

 

 

 

 

 

PROBLEMA RESUELTO DE UN M.V.A.S. I

La mecánica es el paraíso de las ciencias matemáticas porque con ella se alcanza el fruto matemático

 

 

 

                                                                                                                     Leonardo Da Vinci

 

 

Hoy resolveré un problema relacionado con la entrada anterior que se refiere al movimiento vibratorio armónico simple. Se trata de una polea que tiene masa por tanto hemos de considerar su momento de inercia un hilo inextensible y, unidos a él, por un lado una masa conocida y por el otro un resorte o muelle unido al suelo. En este problema se conjuga la dinámica de rotación, de traslación y el m.v.a.s. Aquí os dejo el enunciado y la solución del problema.

 

 

 

NÚMEROS COMPLEJOS I

Dios hizo los números enteros, el resto es obra del hombre

                                                                                         Leopold kronecker

 

 

 

 

En esta entrada completo dos cuestiones que no están en la entrada NÚMEROS COMPLEJOS y éstas son: La expresión de Euler de número complejo y la expresión de logaritmo neperiano de un número complejo. En la segunda parte de esta entrada resuelvo un problema planteado en una prueba en la que se pide hacer una transformación, definida por una operación de dos números complejos, de un área. Aquí os dejo la teoría, el problema y su solución.

 

 

 

 

 

PROBLEMAS RESUELTOS DE PROBABILIDAD I

 ¿Cómo osamos hablar de leyes del azar? ¿ No es, acaso, el azar la antítesis de cualquier ley?

 

 

                                                                                                                            Bertrand Russell

 

 

 

En esta nueva entrada resuelvo una miscelanea de problemas relativos a la teoría de probabilidad. Han sido sacado de pruebas propuestas en años diferentes. Aquí os propongo los enunciados y sus soluciones.

 

 

 

 

TEORÍA DE PROBABILIDAD

La teoría de la Probabilidad, como disciplina matemática, puede y debe ser desarrollada a partir de unos axiomas, de la misma manera que la Geometría o el Álgebra.

 

 

 

                                                                                                                  Andrei Kolmogorov

 

 

 

 

A raíz de una pregunta, voy a escribir sobre probabilidad. Estos conceptos, probabilidad y azar, siempre han estado en la mente del ser humano, debido principalmente a la fascinación del hombre por el juego. Pascal y Fermat en el siglo XVII comenzaron a resolver problemas relacionados con los juegos de azar; así como en el siglo XVIII destacan Bernouille y Moivre , quienes junto a Gauss y Laplace a principios del XIX sentaron las bases científico-matemáticas de la teoría de la probabilidad. Fue ya en el siglo XX cuando el matemático Kolmogorov definió, la probabilidad, de forma axiomática y estableció las bases de la moderna teoría de probabilidad. En esta nueva entrada explico, de forma breve, la teoría de probabilidad, definiciones y teoremas aplicables a los problemas sobre todo, dos teoremas importantes. El teorema de la probabilidad total y el teorema de Bayes.

 

 

 

 

 

PROBLEMA SOBRE EL CENTRO DE GRAVEDAD DE UN CAYADO

                            Lo más maravilloso de la ciencia es que está viva

                                                                           Richard Phillips Feynman

 

 

 

 

En esta nueva entrada resuelvo un problema propuesto en una prueba. Se trata de calcular el centro de gravedad de un cayado formado por una semicircunferencia  y una parte recta. Es importante colocar los ejes coordenados de forma adecuada para que los centros de gravedad de la parte semicircular y de la parte recta resulten sencillos de calcular. A partir de ahí es fácil el cálculo del centro de gravedad el cayado. La última pregunta consiste en hallar el ángulo de equilibrio cuando el cayado se encuentra próximo al borde de una mesa. El enunciado del problema y su solución son los siguientes.

 

SISTEMA DE ECUACIONES DE DOS INCOGNITAS CON DOS PARÁMETROS

No podemos enseñar a nadie. Tan sólo podemos ayudar a que descubran por sí mismos

 

                                                                                                                              Galileo Galilei

 

 

Un estudiante de cuarto de E.S.O. me pide que resuelva el sistema de ecuaciones que publico en esta entrada en función de los parámetros a y b. Tenemos que tener en cuenta los casos que debemos contemplar. Éstos son: Sistema compatible y determinado, sistema compatible e indeterminado y, por último, sistema incompatible. Los dos primeros casos, los compatibles, tienen solución mientras que el último no la tiene. Aquí os dejo el enunciado del problema y su solución.