UN LÍMITE DE SUCESIÓN

                                       Lo último que uno sabe, es por dónde empezar
                                              

                                                                                           Blaise Pascal




En esta entrada resuelvo un límite de una sucesión planteado en una prueba. El enunciado y la solución son las siguientes.

PROBLEMA RESUELTO DE APLICACIONES LINEALES 2

                         El hombre es mortal por sus temores e inmortal por sus deseos

 

 

                                                                                                               Pitágoras

 

 

 

 

En esta nueva entrada resuelvo un problema que ha sido planteado en una prueba de álgabra, concretamente es de aplicaciones lineales. Como sabemos, una aplicación lineal pueden dárnosla de muchas maneras diferentes, la propuesta es otra más de las numerosas formas de presentarnosla. Veamos como es la formulación de la pregunta y su solución.

 

 

 

 

 

PROBLEMA DE ROTACIÓN Y TRASLACIÓN

                  Dios no solo juega a los dados, a veces los tira donde no se pueden ver

                                                                                                        Stephen Hawking

En esta nueva entrada resuelvo un problema en el que además de la traslación de las masas tenemos que tener en cuenta la rotación de la polea porque ésta tiene masa. Podemos ver que si el sistema está en reposo no tiene,  obviamente, relevancia la rotación, mientras que en movimiento tendremos que tenerlo en cuenta. Aquí os dejo el enunciado y el problema resuelto.

 

APLICACIÓN INYECTIVA, SOBREYECTIVA Y BIYECTIVA

                      Es por lógica que demostramos pero por la intuición que descubrimos

 

 

                                                                                                             Henri Poincaré

 

Un problema propuesto sobre aplicaciones lineales. Dada una aplicación lineal definida por las imágenes de los vectores de una base en la propia base, nos piden clasificarla en función de unos parámetros dados, es decir, que digamos si la aplicación es inyectiva, supreyectiva o biyectiva. Recordemos que una aplicación es aquella relación entre dos conjuntos en la que de todos y cada uno de  los elementos del conjunto inicial "sale" una única flecha y decimos que esta aplicación es inyectiva si los elementos del conjunto final que "reciben flecha" reciben una y solo una pudiendo haber elementos que no reciban flecha. Una aplicación es suprayectiva cuando los elementos del conjunto final, alguno o varios, reciben más de una flecha no pudiendo haber elementos que no reciban flecha. Por último decimos que una aplicación es biyectiva cuando todos y cada uno de los elementos del conjunto final reciben una única flecha. Todo esto puede ser también abordado desde el estudio de las dimensiones. Si la dimensión del núcleo de la aplicación es cero entonces ésta es inyectiva, si la dimensión de la imagen es la misma que la dimensión del espacio final la aplicación es suprayectiva o sobreyectiva y si se verifican ambas condiciones a la vez la aplicación es biyectiva. De la definición de aplicación lineal ya he hablado en entradas anteriores, las cuáles podéis consultar. El problema y la solución son de la forma siguiente:

LEYES DE NEWTON EN PLANOS INCLINADOS

                                 El universo del no-equilibrio es un universo coherente

 

                                                                                                 Ilya Prigogine

 

 

Vamos a hablar de la aplicación de la segunda ley de Newton en un problema de traslación de dos masas unidas por un cable inextensible a través de una polea sin masa. Recordando un poco de teoría, las leyes de Newton son tres.

La primera nos indica que si sobre un cuerpo no actúa fuerza alguna o la suma de todas las fuerzas actuantes sobre él son nulas, el cuerpo permanece en reposo o se mueve con velocidad constante; tomemos como ejemplo las fuerzas actuantes sobre nosotros mismos sentados en una silla o bien el movimiento de los planetas alrededor del sol.

La segunda ley nos indica que cuando lo que ocurre en la primera ley no se cumple, es decir, cuando las fuerzas aplicadas a un cuerpo no son nulas el cuerpo adquiere una aceleración que es proporcional a las fuerzas aplicadas a dicho cuerpo y la constante de proporción es la masa. F = m*a.

La tercera ley, denominada de acción-reacción, nos dice que si un cuerpo realiza una fuerza sobre otro este otro reacciona y realiza sobre el primero una fuerza igual y de sentido contrario a la anterior.

En nuestro problema aplicaremos la segunda y la tercera ley de Newton.

También nos preguntan sobre la energía cinética y la energía potencial además del trabajo debido al rozamiento. Recordando la teoría sobre energías, la energía cinética está relacionada con la velocidad de la forma siguiente. Ec = (1/2)*m*v^2. La energía potencial está relacionada con la posición de la partícula de la forma siguiente Ep = m*g*h. Además el trabajo de rozamiento se define a partir de la definición, valga la redundancia, de trabajo como Wr = Fr*e. Se cumple además el teorema de las fuerzas vivas y el teorema de la energía potencial. Además, por ser un campo no conservativo, se verifica que Wr = Ep1-Ep2 - (Ec2-Ec1), es decir el pricipio de conservación de la energía para campos no conservativos.

El enunciado del problema y su solución resulta ser de la forma siguiente:

 

 

 

INTEGRAL DE CAMBIO PREVISIBLE

Las matemáticas poseen no solo la verdad, sino cierta belleza suprema. Una belleza fría y austera, como la de una escultura.

                                                                                                                Bertrand Russell



Una integral fácil si nos damos cuenta de que tenemos que hacer el mínimo común múltiplo de los índices de las raíces, ahí estará la clave del cambio y también de la solución. Aquí os dejo el enunciado y la solución.

 

IGUALDAD DE ÁREAS

                                   Con números se puede demostrar cualquier cosa

                                                                                         Thomas Carlyle

                                                    



En esta nueva entrada resuelvo un problema que me han planteado. Consiste en hallar el valor de n de dos funciones para que las tres áreas en que estas dos funciones dividen a un cuadrado de lado 1 unidad sean iguales y, por tanto, la suma de las tres áreas coincida, como no puede ser de otra forma, con el área del cuadrado. Aquí os dejo el problema y la solución.