PROBLEMA DE ELECTROMAGNETISMO I

                   El trabajo de James Clerk Maxwell cambió el mundo para siempre


                                                                                                   Albert Einstein

En esta nueva entrada publico un problema que está basado en alguno de los principios del electromagnetismo. Recordando un poco de teoría, el electromagnetismo estudia las cargas en movimiento. El problema de hoy consiste en la aplicación de unos reaultados   para llegar a la ley de Biot y Savart que es el objetivo del problema. Aquí os dejo el enunciado y la solución.

PROBLEMA RESUELTO DEL TEOREMA DE BOLZANO

              Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo

 

                                                                                                          Galileo Galilei

 

En la entrada de hoy hablaré sobre un teorema importante en el cálculo de funciones de una variable. Lo aplicaré a un problema que me han propuesto para resolver. Se trata del teorema de Bolzano. Este teorema garantiza la existencia de raíces de la función en estudio bajo unas condiciones muy sencillas de entender, éstas son.

 

a)  Si f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b]

b)  signo de f(a) es distinto de signo de f(b)

entonces existe un punto c perteneciente al intervalo [a,b] tal que f(x) = 0

En nuestra época, este teorema puede parecernos bastante obvio pero en la época de Bolzano (1781-1848) el conocimiento sobre esta materia no era tan evidente. Aquí os dejo el problema resuelto como aplicación de este importante teorema.

 

 

 

PROBLEMA RESUELTO DE APLICACIONES LINEALES 1

 

 El álgebra es generosa: a menudo da más de lo que pide

                                                                                         Max Rosenlicht

 

 

 

En esta nueva entrada resolveré un problema sencillo de aplicación lineal que me han planteado. Nos piden demostrar que la aplicación es lineal, escribir la matriz asociada en las bases canónicas y también hallar la matriz en otras bases dadas en el enunciado del problema. Aquí os dejo la solución.

 

 

 

CENTRO DE MASAS DE UN SECTOR CIRCULAR

La única cosa realmente valiosa es la intuición

 

 

                                                                                             Albert Einstein

 

 

 

Continuando con la aplicación de teoremas para el cálculo de centros de masas, en este nuevo ejercicio aplicaré el segundo teorema de Guldin para calcular el centro de masas de un área, se trata de un sector circular de radio R y ángulo conocido. También, como en el problema de la entrada anterior, lo resolveré aplicando la definición de centro  de masas de una superficie y a través del teorema II de Guldin. Aquí os dejo el problema resuelto.

 

 

 

RECTIFICACIÓN CENTRO DE MASAS DE UN ARCO HOMOGENEO

Equivocarse es de humanos, perdonar es divino y rectificar es de sabios


                                                                                           Alexander Pope



En la entrada CENTRO DE MASAS DE UN ARCO HOMOGENEO, en la solución que corresponde a "por definición", ha habido un error que allí he subsanado y que aquí también dejo. El problema ha de dar la misma solución sea cual sea el camino, siempre que éste sea correcto.

CENTRO DE MASAS DE UN ARCO HOMOGENEO

En física las palabras y las fórmulas están conectadas con el mundo real


                                                                            Richard Phillips Feynman



En esta entrada, basándonos en la teoría publicada anteriormente, CENTRO DE MASAS CENTRO DE GRAVEDAD, voy a resolver un problema sencillo que consiste en hallar el centro de gravedad de un arco homogéneo de radio R y ángulo conocido. Está resuelto aplicando el teorema I de Guldin y también aplicando la definición de centro de gravedad. Aquí os dejo el problema resuelto, por ambos caminos ha de dar el mismo resultado.

CENTRO DE MASAS. CENTRO DE GRAVEDAD

La vida es como andar en bicicleta, para conservar el equilibrio debes mantenerte en movimiento

                                                                                                                                   Albert Einstein


En esta nueva entrada, os comentaré sobre geometría de masas. En principio definiré el concepto de centro de masas y centro de gravedad que coinciden cuando se trata de sólidos de pequeñas dimensiones comparadas con la Tierra. Dos teoremas nos ayudarán a resolver este tipo de problemas, ambos de Guldin. El primero nos indica como encontrar el centro de masas a partir del area de la superficie engengrada por una curva plana como defino en el apunte incorporado. De la misma forma, en el segundo teorema de Guldin es el volumen del cuerpo engendrado por una superficie plana el que girando convenientemente alrededor de un eje coplanario que no la corta es quien nos ayuda a encontrar el centro de gravedad buscado. Veámoslo.

LÍMITE DEL NÚMERO e

                                          Las matemáticas son la música de la razón

 

 

                                                                                                  Silvester

 

 

 

En esta nueva entrada voy a hablaros del número e. Se trata de un nº irracional, es decir, un nº decimal que tiene infinitas cifras decimales que no se repiten. En el caso que nos ocupa, resolveré un límite en el que interviene el nº e utilizando la forma artificiosa para conseguirlo. Esta es su solución.

 

 

 

 

 

PROBLEMA RESUELTO DE APLICACIONES LINEALES

Mejor que de nuestro juicio, debemos fiarnos del cálculo algebraico.

 

                                                                                                                 Euler

 

 

 

En esta nueva entrada voy a hacer un problema de aplicaciones lineales. Recordemos brevemente la definición de aplicación lineal. Definidos dos espacios vectoriales V y W relacionados por una aplicación f. Sean  u, v dos vectores pertenecientes al espacio vectorial V de salida. Sea W el espacio vectorial de llegada y sea h escalar. Decimos que la aplicación así definida es lineal si verifica dos condiciones, éstas son:

 

a) f(u + v) = f(u) + f(v)

b) f(h . u) = h . f(u)

 

Además recordemos dos conclusiones que se derivan de proposiciones relativas al problema que nos ocupa.

 

1) Una aplicación lineal queda totalmente definida cuando se conocen las imágenes de los vectores de una cualquiera de sus bases.

2) Se verifica siempre que  dim Im (f) + dim Ker (f) = dim V.

 

 

 

PROBLEMA DE LÍMITES

La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles.

                                                                                                                                       René Descartes

 

 

En esta nueva entrada voy a resolver un límite que me plantearon. Se trata de un límite que cumple el criterio de Stolz. Además también aplico la teoría sobre equivalencias, recuerdo que éstas se aplican en límites siempre que sea para productos o cocientes. Aquí está el problema y su solución.

 

 

 

 

 

PROBLEMA RESUELTO DE PRODUCTO ESCALAR

Todo saber tiene de ciencia lo que tiene de matemáticas

                                                                                             Poincaré

Siguiendo la entrada publicada anterior, resuelvo un problema planteado relativo a producto escalar.

Sean dos vectores u y v tales que u = 1 y v = 2 y sea alfa (u,v) = 60º. Calcular el ángulo Beta que forman (u,u+v). Nota: u y v   son  módulos de u y v respectivamente. Aquí os dejo el problema solucionado. Saludos.

PRODUCTO ESCALAR. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES.

Matemática es la reina de las ciencias

                                                                                            Gauss


En esta nueva entrada, voy a explicar de forma breve la definición y propiedades que tiene el producto escalar. Veámoslo:

PROBLEMA RESUELTO DE TIRO PARABÓLICO

MOVIMIENTO ES EL PASO DE LA POTENCIA AL ACTO

    

                                                                                           Aristóteles

                                                                       

 

 

En esta nueva entrada resuelvo un problema planteado relacionado con el tiro parabólico. El problema dice así.

Un proyectil se dispara con un ángulo de elevación theta. Un observador situado junto a la rampa de lanzamiento sitúa la posición del proyectil midiendo el ángulo de elevación fi que se muestra en la figura adjunta cuando éste está en su máxima elevación. Demostrar que tg fi = (1/2)*tg theta.

 

 

 

TIRO PARABÓLICO. ECUACIONES

Pensar sin aprender es esfuerzo perdido; aprender sin pensar, peligroso

 

                                                                                                      Confucio

 

 

 

En esta nueva entrada, comienzo a hablar también de temas de física, aprovechando una pregunta que me hacen. Voy a analizar, desde el punto de vista teórico como son las relaciones matemáticas en un tiro parabólico. Debemos recordar que las matemáticas son la herramienta imprescindible para el estudio de las demás ciencias, de ahí que una base sólida en el ese campo permite que otras ciencias como la física, química, mecánica, etc puedan ser comprensibles para nosotros. Bien, volviendo al tema que esta entrada nos ocupa, explico de forma teórica como es un tiro parabólico, desde las ecuaciones paramétricas del movimiento, pasando por la ecuación implícita de éste, la altura máxima alcanzada por el objeto en este tipo de movimiento llegando, por último, a la ecuación que nos indica el alcance. Aquí os dejo el desarrollo. Saludos. 

 

 

PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN II

Enseñar no es transferir conocimientos, sino crear las posibilidades para su propia producción o construcción

                                                                                                                  Paulo Freire



En esta nueva entrada resolveré un problema de optimización que me han propuesto. Se trata de resolver una función que queremos optimizar, tiene dos variables y, por tanto, hemos de encontrar también la ecuación de condición que nos garantice que la función a optimizar pueda quedar en función de una sola variable. De esta forma podremos derivar e igualar a cero (condición necesaria de óptimo). Una vez obtenida la solución debemos comprobar que realmente se trata, en nuestro problema, de un máximo y ello se consigue, como ya hemos apuntado en una entrada anterior, resolviendo la segunda derivada y particularizando ésta para el valor obtenido en la primera derivada. Esta comprobación garantiza que nuestro resultado es conforme a la tesis del problema y el problema estaría completamente resuelto. Aquí os dejo el enunciado y la solución. Saludos.

PREGUNTAS DE MATEMÁTICAS, FÍSICA Y QUÍMICA

La educación es el pasaporte hacia el futuro, el mañana pertenece a aquellos que se preparan para él en el día de hoy.

                                                                                                                            Malcolm X



Os recuerdo que podéis hacerme cualquier pregunta o duda que tengáis a través de este blog. Saludos.

SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL

Por extraño que parezca, la fuerza de las matemáticas reside en pasar por alto todos los pensamientos innecesarios y en la maravillosa frugalidad de las operaciones mentales.

                                                                                                               Ernst Mach

Hoy me han pedido que explique el segundo teorema fundamental del cálculo integral. Se trata de un teorema importante en el cálculo de integrales. Dice así. Si f(u) es una función continua en el intervalo cerrado  [a,b]  entonces la derivada de la función F(x) es F´(x) = f(x), es decir, F(x) es una primitiva de f(x). El teorema nos permite, como en el ejemplo que planteo, la obtención de máximos o mínimos de una función que se nos presenta en forma de integral.

CÁLCULO DE ÁREAS USANDO LA GEOMETRÍA

La geometría es el arte de pensar bien, y dibujar mal

                                                                                                      Poincare

En esta nueva entrada queremos saber como hallar el área de la figura sombreada. De las múltiples formas de resolver, ésta, la que os presento es una de ellas. Saludos.

 

 

FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRÍA

Donde hay materia hay geometría

                                                                                                 Kepler

Hoy propongo dos problemas de geometría. El primero dice que dadas dos circunferencias tangentes entre sí y a la vez tangentes a dos ejes perpendiculares como indica la figura adjunta a la solución del problema, conociendo además que R es el radio de la circunferencia mayor. ¿Cuál es el radio de la circunferencia pequeña?

 

 

 

INTEGRAL CÍCLICA

Si la gente no piensa que las matemáticas son simples, es solo porque no se dan cuenta de lo complicada que es la vida.

 

                                                                                                                 John Von Neumann

 

 

 

En esta nueva entrada, resuelvo una integral cíclica perteneciente a la misma prueba presentada a los alumnos de informática en una entrada anterior. Las integrales denominadas "por partes" son las típicas en las que aparecen integrales cíclicas. Tenemos que darnos cuenta de su presencia pues, de lo contrario, como su nombre indica entraríamos en un bucle sin fin y nunca conseguiríamos un resultado. Espero que os sirva. Saludos.

 

 

SOLUCIÓN PARA LÍMITES DE FUNCIONES

No hay enigmas. Si un problema puede plantearse, también puede resolverse.

                                                                                                  Ludwig Wittgenstein

En esta entrada os resuelvo un  límite de una función f(x). Es fácil darse cuenta de la conversión de un límite lateral en un límite entero simplemente haciendo un cambio de variable sencillo. De esta forma evitamos que los signos nos jueguen una mala pasada. Saludos.

 

 

 

INTEGRALES PROPUESTAS EN UNA PRUEBA

Las integrales son como la crema pones te quitas las arrugas, lo arreglan todo

                                                                                                                     Juan de Burgos

En esta entrada resuelvo dos  integrales propuestas en una prueba en el grado de informática. Ambas son integrales definidas. Aquí os dejo la solución. Saludos.

ESTUDIO DE SIMETRÍAS, PERIODICIDAD, CRECIMIENTO, MÁXIMOS Y MÍNIMOS, CONCAVIDAD, PUNTOS DE INFELXIÓN Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

Una verdad matemática no es ni simple ni complicada por sí misma, es una verdad

                                                                                                                         Émile Lemoine

En esta nueva entrada, con el estudio de las simetrías, periodicidad, crecimiento máximos y mínimos, concavidad, puntos de inflexión y representación gráfica, finalizo la parte teórica de la representación gráfica de funciones. En cada uno de los apartados explico, como en las entradas anteriores sobre dominios, asíntotas y cortes con los ejes, la forma de proceder más cómoda y sencilla para el estudio de la función. Para finalizar he resuelto un ejercicio de representación de una función incluyendo todos los pasos a seguir. En la mayoría de las funciones no es necesario hacer el estudio completo, solamente algunos de los pasos indicados nos darán las pistas necesarias para su representación. Espero que os sirva para la preparación del tema. Saludos.