LÍMITE, CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

LO QUE SABEMOS ES GOTA DE AGUA, LO QUE IGNORAMOS ES OCÉANO

                                                                                                                          Isaac Newton

En esta nueva entrada voy a explicar un poco de teoría, de forma muy breve. Antes de avanzar en el estudio de funciones. Me han pedido que hiciera un breve inciso para recordar la base teórica en la que se basan muchos problemas relacionados con el cálculo. Procuraré ser conciso y claro en mi exposición. No pretendo aburriros, solamente que considero importante hacer esta mínima parada teórica  para aclarar conceptos que trataremos en próximas entradas.

 En primer lugar, defino límite de sucesión. Esta sucesión es un conjunto de elementos que guardan una cierta relación entre ellos y que ocupan una posición definida dentro del conjunto. La idea más intuitiva de límite es aquello a lo que nos vamos acercando pero nunca llegaremos a estar en  él aunque en cada paso que demos estamos más cerca del límite. En la definición rigurosa hago referencia a la monotonía (crecimiento) de la sucesión así como a la acotación de ésta ( ha de tener principio y fin); ambas condiciones, monotonía y acotación son condiciones necesarias y suficientes para que una sucesión tenga límite.

En segundo lugar hago referencia al límite de una función. Como no puede ser de otra forma, la idea de acercamiento al límite es la base de la definición rigurosa con la que las matemáticas nos definen el límite de función. Para puntos muy próximos a "a" en el eje X las imágenes de éstos han de estar muy próximas al límite en el eje Y.

En tercer lugar me refiero a la continuidad, todos conocemos qué es algo continuo, la expresión matemática que indica cuando una función es continua en el punto "a" ha de cumplirse que los límites laterales en el punto "a" han de ser iguales ( existe límite en "a" ) y además impone otra condición, dicha igualdad ha de coincidir con el valor de la función en el punto "a". Teniendo esta idea presente, analizo los diferentes casos de discontinuidad que pueden presentarse.

En cuarto lugar hablo de lo que en el cálculo es la "joya de la corona". Nunca las matemáticas se desarrollaron tanto como con la idea expresada por el genial Newton que él denominó "cálculo de fluxiones", emprendió el camino que matemáticos posteriores perfeccionaron llegando a la perfecta definición de derivabilidad, asunto que nos ocupa en este apartado. En él explico brevemente las condiciones que han de cumplir las funciones que llevan la "vitola" de derivables así como la interpretación geométrica de la derivabilidad. Pensemos que en este concepto junto con el de continuidad están cimentados los teoremas más importantes de las funciones de una variable como son el Teorema de Bolzano, Weierstrass y Darboux para la continuidad y Teorema de Rolle, Lagrange y Cauchy así como la regla de L´Hôpital para la derivabilidad.

En quinto y último lugar escribo una breve tabla de derivadas, formulación deducida de la aplicación de la definición de derivabilidad a cada función  que aparece en la tabla, además de un ejemplo de aplicación para cada caso.

Quizá la entrada de hoy haya sido un poquito aburrida pero es necesaria para poner al día algunos conceptos de los que estamos continuamente hablando y que tanta importancia tienen en la comprensión y desarrollo de esta parte del cálculo. Aquí dejo todo lo que os he hablado. Saludos.